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Problema de Grafos Comparados. Práctica Resuelta.

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Grafo 1 (Menorca)
teoría de grafos práctica
Grafo 2 (La Palma)

A partir de los siguientes grafos conteste a las siguientes preguntas:


  1. Realice la matriz de conectividad de ambos grafos y calcule el índice Beta, número Ciclomático e índice Alfa. Indique que grafo tiene mayor conectividad.
  2. Realice la matriz de accesibilidad de ambos grafos y calcule el número asociado de konning y el índice Shimbel e indica que punto de cada grafo tiene una mejor accesibilidad, y cual es el punto más accesible comparando ambos grafos.


RESPUESTA 1

GRAFO 1

Matriz de Accesibilidad Grafo 1 (Menorca)

Número de Nodos: 7
Número de Arcos: 7

Matriz de Accesibilidad: de la matriz se desprende que los puntos más accesibles son F, M y Ma

Índice Beta: 7/7= 1, el índice beta indica que el grafo tiene al menos un circuito, aunque su conectividad es baja.

Número Ciclomático: 7-(7-1)=1 este número también nos indica que el número de circuitos es de 1 formado por los nodos (M, Ma y Fe)

Índice Alfa: [7-(7-1)]/[2*7-5]= 0.090 lo que nos dice que la red de transporte de Menorca tiene sólamente el 9% de conectividad desarrollada.

GRAFO 2

Matriz de Accesibilidad Grafo 2 (La Palma)
Número de Nodos: 13
Número de Arcos: 14

Matriz de Accesibilidad: de la matriz se desprende que los puntos más accesibles son C y F

Índice Beta: 14/13= 1,07 el índice beta nos indica que la conectividad es baja.

Número Ciclomático: 14-(13-1)=2 este número también nos indica que el número de circuitos es de 2 que son los formados por los nodos (C,F,G,H,I,J) y el circuito formado por los nodos (J,I,L)

Índice Alfa: [14-(13-1)]/[2*13-5]= 0.095 lo que nos dice que la red de transporte de Menorca tiene sólamente el 9,5% de conectividad desarrollada.

Aunque sea por un porcentaje muy pequeño, el grafo 2 correspondiente a la isla de La Palma tiene un grado de conectividad mayor que la red de transportes de Menorca.




RESPUESTA 2

GRAFO 1
Matriz de Accesibilidad Grafo 1 (Menorca)
El punto más accesible del Grafo 1 es el nodo M

El índice de dispersión del grafo es la suma de los índices de todos los vértices = 79

GRAFO 2

Matriz de Accesibilidad Grafo 2 (La Palma)
Los puntos más accesible del Grafo 2 es el nodo C y el nodo J.

El índice de dispersión del grafo es la suma de los índices de todos los vértices = 415

RESPUESTAS

A partir de los índices de dispersión podemos decir que la red de transporte de Menorca es mucho más concentrada que la de la isla de La Palma, que es bastante más dispersa.

Para poder calcular comparar los puntos más accesibles de diferentes gráficos es necesario aplica el Índice Omega que se calcula a través de la siguiente fórmula:

                          ( Índice Shimbel del nodo)-(Índice Shimbel más bajo)
Índice Omega :------------------------------------------------------------------
                          (Índice Shimbel más alto)-(Índice Shimbel más bajo)

Índice Omega Grafo 1: (9-9)/(16-9)= 0.14

Índice Omega Grafo 2: (24-24)/(43-24)= 0.05

Por tanto el nodo M, del Grafo 1, es más accesible que los nodo C y J del grafo 2

Teoría de Grafos. Práctica Resuelta Geografía

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teoría de grafos
Grafo de una red de transporte

IDENTIFICACIÓN: Nos encontramos ante un grafo, una no es sino una simplificación gráfica de la estructura de una red de transporte, sin tener en cuenta ni trazados ni tamaño de las áreas que se representan. Se construye con líneas rectas (arcos) que representan vías de transporte (carreteras, ferrocarriles, etc.) que unen puntos o centros de salida, destino y también cruces de varías vías de transporte (nodos). A partir de la Teoría de Grafos, es posible estudiar las características básicas de una red de transporte como su conectividad, su accesibilidad, y la densidad de la red de transporte.



DESCRIPCIÓN: En la imagen observamos dos gráficos, el primero en el margen izquierdo representa un trazado topográfico de una red de transporte de un lugar determinado. En el gráfico del margen derecho observamos el mismo trazado simplicado geométrica a una red topológica o grafo. Si observamos el grafo veremos que cuenta con 8 arcos que unen 8 nodos.

ANÁLISIS: Un análisis del grafo nos permitirá conocer las características esenciales de esta red de transporte como su conectividad, accesibilidad y densidad.

Conectividad: Con conectividad se pretende conocer la capacidad que tienen de comunicarse los diferentes puntos de una red de transporte con un recorrido mínimo. No se tiene en cuenta la distancia real entre los vértices o nodos, sino la mayor o menor facilidad de conexión. Se considerará una conectividad óptima cuando la comunicación entre dos vértices o nodos se realiza a través de un sólo arco. Si para unir dos vértices o nodos sean necesarios atravesar dos o más arcos su conectividad será menor. El grado de conectividad se utiliza como indicador de desarrollo de los países al existir una relación directa entre el grado de conectividad de la red de transporte de un Estado y su renta per cápita.

Para estudiar la conectividad es necesario construir una matriz de doble entrada, con los nombres de los nodos, señalaremos con "1" si hay conexión directa, es decir, con un sólo arco con otro nodo, o "0" si no existe conexión directa. En este caso quedaría así:

tabla de conectividad grafo 1
Matriz de Conectividad Grafo 1

Así, en la fila de totales veremos reflejado que vértices o nodos estarían mejor conectados. En este caso serían los nodos: B, A y Ct. Pero si queremos saber el grado de conectividad de la red en general debemos recurrir a otros medios estadísticos, existen multitud de índices que expresan la conectividad, aquí utilizaremos los más comunes:

En primer lugar está el Índice Beta que trata de indicar en que grado están conectados los diferentes vértices o nódos de una red, se expresa de la siguiente forma:

                          e
Índice Beta = -------
                          V

Donde e es el número de arcos y V el número de vértices o nodos, por tanto quedaría así 8/8 = 1

Los valores del Índice Beta oscilan entre 0 y 3. Se considera que los valores inferiores a 1 pertenecen a grafos no conexos, 1 indica una red con un sólo circuito y los valores comprendidos entre 1 y 3 indican que se trata de una red más compleja, más cuanto se aproxime a tres.


El Número Ciclomático: determina la cantidad de circuitos que existen dentro de un grafo. Entendiendo por circuito, cada una de las múltiples maneras que existen para ir desde un nodo hasta el mismo, sin tener que pasar dos veces por el mismo arco. Se calcula restando el número total de arcos (a) al número de nodos necesario para formar un árbol (n-1), restándose además los grafos inconexos(g) su fórmula es la siguiente:

Número Ciclomático: a-(n-1)-g

En este caso no existen grafos inconexos, por lo que quedaría así:

Número Ciclomático = 8-(8-1)= 1

Lo que expresa que existe un circuito dentro del grafo.

Otro índice utilizado es el Índice Alfa, que trata de expresar la relación entre el número de circuitos existentes en el grafo, con el número máximo de circuitos posibles. Debemos entender por circuito un recorrido que es a la vez un camino cerrado, en este caso tenemos un circuito entre los nodos B, C y Ct.
                           a - (n -1)-g
Índice Alfa = ------------------ 
                             2n-5

Donde a son los arcos y n son los vértices o nodos.

Por tanto quedaría así: (8-8-1)/(2x8-5)=  0.09 si lo expresamos en porcentaje el valor es de 9%

Por tanto el grafo tiene un 9% de los circuitos de todos los posibles, lo que nos lleva a pensar en una conectividad también baja entre los distintos nódos o vértices. La utilización del Índice Alfa es muy común porque permite comparar distintos grafos.

Accesibilidad: Con accesibilidad entendemos la facilidad que existe para poder acceder a un vértice o nodo concreto de la red, desde cualquier otro nodo o vértice. Para estudiar la accesibilidad es necesario construir una matriz de doble entrada donde indicaremos el número de arcos necesario para llegar de un nodo a otro por el camino más corto.

La accesibilidad se puede medir con dos índices. Uno de ellos es el conocido como Número Asociado de Konning, que es expresa el valor más elevado de cada columna, cuanto más alto sea este valor menor accesibilidad tendrá y viceversa. Otro de los índices más utilizados es el Índice de Shimbel que se obtiene con la suma de los arcos de cada columna, cuanto más baja sea la suma mayor accesibilidad tendrá el vértice o nodo, todo lo contrario ocurrirá cuando la suma del número de arcos sea mayor.
matriz de aceesibilidad
Matriz de Accesibilidad Grafo 1


Así, atendiendo al Número Asociado de Konning, los nodos más accesibles serán C, A y Ct, si atendemos al Índice de Shimbel, los nodos más accesibles serán A y Ct.

A partir del índice Shimbel se puede obtener también el índice de centralidad, y que permite compararlo con grafos distintos, se expresa con la siguiente fórmula:

                                           Índice de Shimbel
Índice de Centralidad = -------------------------
                                                     (n-1)

Así obtenemos que los nodos centrales del grafo son los puntos A y Ct

Eficiencia: También es posible calcular el nivel de eficiencia de una red a través de una relación de la distancia real para acceder de un punto a otro, y la distancia idea (en línea recta), o lo que es lo mismo, calcular el índice de rodeo. Para ello es necesario construir dos matrices, una con distancias reales y otra con las distancias ideales, después obtendremos una suma de todas ellas que nos permitirá obtener el Índice de Rodeo a partir de la siguiente fórmula.

                                Distancia Ideal (Kms)
Índice de Rodeo=-----------------------------
                               Distancia Real (Kms)

Los valores obtenidos van de 0 a 1, cuanto más cercano a uno más eficiente será la red de transporte. En este caso, no podemos calcularlo por no tener los datos necesarios.

Densidad: Otro factor importante a considerar es la densidad de la red de transporte que se obtiene de la relación entre los kilométros lineales (L) de la red de transporte y los kilómetros cuadrados que ocupa el área (A) del territorio sobre la que se asienta. Este índice permite comparar también distintas redes de transporte.

                    L
Densidad=-----
                    A



COMENTARIO: Las sociedades han evolucionado históricamente de forma distinta dando lugar a diferentes configuraciones de las redes de transporte, podemos encontrar a lo largo de la geografía mundial redes irregulares y anárquicas, muchas veces debido a las irregularidades orográficas del terreno, hasta redes planificadas con trazados reticulares como en las llanuras de Estados Unidos o sistemas radiales como la red de carreteras en Irlanda. Hoy en día, en un mundo globalizado, es indudable la conexión entre las redes de transporte y desarrollo económico, por tanto su estudio es necesario para mejorar el desarrollo y la vertebración territorial y económica de un país. Para el estudio de redes de transporte se suele utilizar la Teoría de Grafos, una teoría matemática que arranca del problema planteado por Euler y continuado por Kirchohff denominado "los puentes de Königsberg". A través de la teoría de Grafos es posible estudiar la conectividad, accesibilidad, centralidad, eficiencia y densidad de una red de transporte. La aplicación práctica de estos conceptos en la ordenación del territorio dan lugar una mejora del desarrollo económico del mismo.

El estudio de la  conectividad de una red de transporte se facilita la proyección de nuevas redes de comunicación como carreteras, autovías o ferrocarriles que permitan una mejor vertebración del territorio, y con ello un aumento del PIB per cápita, índice con el que está relacionado.

El estudio de la accesibilidad arroja datos importantes para la planificación y ordenación del territorio, y permite construir servicios públicos o privados, como aeropuertos, estaciones, hospitales o centros comerciales en los lugares más accesibles de un territorio concreto.

Asimismo, la utilización de los diferentes índices aquí expuestos nos permiten conocer otros datos como la centralidad, la eficiencia o la densidad, que permiten una mejor planificación y una reducción de las distancias y tiempos del transporte, mejorando la productividad, la comunicación y en definitiva la vertebración más homogénea del territorio.

Mapa Jerarquía Urbana en España - Práctica Resuelta

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jerarquía urbana españa
Mapa de la Jerarquía Urbana en España
CLASIFICACIÓN: Nos encontramos ante un mapa temático, que representa el territorio peninsular e insular de España. Se trata de un mapa cualitativo en cuanto muestra los fenómenos sin medir sus magnitudes, estático ya que no se muestra una evolución a través del tiempo, y sintético porque en él se analizan varios fenómenos. Se trata de un mapa de figuras o cartograma. El mapa tiene una escala en la que cada segmento equivale a 100 kms.



DESCRIPCIÓN: El principal fenómeno que se representa es la Jerarquía Urbana Española, desconocemos la fecha a la que pertenece, pero podríamos situarle a comienzos de siglo XXI. Y para representar la información se han utilizado una serie de figuras. Por ejemplo, los cuadrados, representarán las ciudades más importantes y dependiendo de su tamaño y color conoceros que tipo de metrópoli, con puntos se representarán ciudades de menor entidad. En regiones corocromáticas, se representarán diferentes ejes urbanos. Y a través de líneas continuas y también discontinuas se representa si existe conexión o no entre ciudades y su fortaleza o debilidad.

ANÁLISIS: Debemos entender por jerarquía urbana, el orden, bien sea por su importancia política, económica o de otra índole de una ciudad sobre otra y por tanto su capacidad o no de transformar, organizar el territorio y su capacidad de relacionarse con otras ciudades.

Para establecer una jerarquía entre ciudades, se pueden utilizar varios criterios, siendo el más simple el tamaño de la población o número de habitantes, sin embargo no es suficiente para conocer su importancia o influencia en todo el territorio. Se hace por tanto necesario conocer otros aspectos como su capacidad de atracción, que se deberá a otros factores como sus funciones a través de la oferta de servicios especializados (Ópera, Medicina, Educación, Servicios Financieros) que junto con el tamaño de la población nos permiten situar a las ciudades en un orden dentro de la jerarquía.
Teniendo esto en cuenta y siguiendo la leyenda del mapa, podremos establecer la siguiente jerarquía de ciudades:

Metrópolis Nacionales: (En cuadrados rojos) Se trata de grandes ciudades de rango nacional, debido a su tamaño de población (más de 1.5 millones de habitantes) y sus funciones capaces de extender su influencia a todo el territorio nacional y se relacionan con otras grandes ciudades en el ámbito mundial. En este caso se trata de Madrid y Barcelona, para entender la influencia de estas ciudades sobre el resto del territorio debemos conocer las funciones que desempeñan, por ejemplo, desde los aeropuertos del Prat o Barajas parten el 90% de los vuelos internacionales. La capitalidad de Madrid nos ofrece una serie de funciones políticas, sede del Gobierno, Congreso y Senado, Ministerios que resultan ser polo de atracción. Tanto Barcelona como Madrid tienen una oferta turística muy atractiva, en el ámbito cultural, como de ocio y diversión, y suelen ser las ciudades elegidas por las grandes multinacionales para establecer sus sedes. Existe una relación de rivalidad y competencia entre Madrid y Barcelona.

Metrópolis Regionales: (En cuadrados azules) Se trata de grandes ciudades, (entre 500 y 1500000 habitantes) con unos amplios servicios especializados, que ejercen una gran influencia sobre el territorio a nivel regional y que mantienen lazos estrechos con las dos grandes ciudades nacionales. En este caso podemos hablar de Sevilla, que ejerce influencia sobre todo el eje andaluz y tiene comunicación directa con Madrid, influye mucho algunas infraestructuras como el AVE inaugurado en 1992. Otra ciudad importante de este nivel sería Valencia, que junto con Barcelona ocuparía la capitalidad del Eje Mediterráneo, también bien comunicada tanto con Madrid como Barcelona. Algo parecido ocurre con Zaragoza en el Valle del Ebro o Bilbao en el Eje Cantábrico.

Metrópolis Subregionales: (En cuadrados verdes) En este caso se trata de ciudades con un área de influencia menor y con menos servicios especializados que las anteriores. Suelen estar bien comunicadas entre si y con Metrópolis Regionales. Suelen coincidir con capitales de Provincia y suelen ejercer su influencia sobre ciudades medias y ciudades pequeñas ya que concentran servicios administrativos, educativos y sanitarios. Algunas de estas serían Cádiz, Córdoba, Granada, Murcia, Alicante, Palma, Vigo, A Coruña, Oviedo, San Sebastián y Pamplona.

Después tenemos ciudades medias y ciudades pequeñas, con cierta relevancia a nivel provincial pero sin mucha importancia a nivel nacional. 

La relación de estas ciudades entre sí, da lugar a la formación un sistema urbano en España formado a partir de distintos ejes urbanos heredados en su mayor parte de la etapa industrial. Así podemos distinguir un centro urbano como Madrid, y varios ejes periféricos lo que dejan el interior del país poco integrado.

Madrid: Lo podemos considerar como el núcleo principal de España, asume muchas funciones terciarias y su capitalidad le hace desempeñar numerosas funciones política del Estado.
Eje Gallego: Se encuentra en torno a Vigo y A Coruña y está especializado en el comercio, pesca, ganadería y textil.
Eje Cantábrico: Con centro en Bilbao extendiéndose hacia Oviedo y Gijón por el Oeste, León, Burgos y Logroño hacia el Sur y San Sebastián y Vitoria hacia el Este. Se encuentra en plena reconversión industrial, tras la crisis de los sectores minero y siderúrgico, un ejemplo de ello es la rehabilitación de la ría de Bilbao y la construcción del Museo Guggenheim.
Eje Mediterráneo:  comprende desde Girona a Cartagena, se trata de uno de los ejes más dinámicos, debido a una industria diversificada y un fuerte peso de los servicios, sobre todo del turismo, que han desplazado a la industria pesada como factor para la urbanización.
Eje Valle del Ebro: su importancia radica en su enlace entre Madrid, el Eje Mediterráneo y el Eje Cantábrico, tiene un equilibrio entre la industria y los servicios.
Eje Andaluz: Se divide en dos ramas, un eje litoral entre Almería y Huelva y un eje interior en torno al Guadalquivir. El interior está bastante ligado a actividades agrarias mientras que el litoral está más ligado a actividades turísticas.
El interior peninsular no tiene ejes urbanos integrados y está formado principalmente por pequeñas ciudades especializadas en el comercio y la agroalimentación.
En la España insular, tanto, en el archipiélago Balear como el Canario, no se da un eje urbano integrado debido fundamentalmente a la fragmentación territorial que suponen las islas, su actividad económica principal es el turismo.




COMENTARIO: El mapa es una muestra ideal de la Teoría de los Lugares Centrales de Christaller. Esta teoría establecía un modelo ideal, donde las ciudades se relacionaban entre sí a partir de su área de influencia o hinterland. El área de influencia sería mayor cuantos mayores fuesen sus funciones o su oferta de servicios especializados. En este sentido, sería Madrid principalmente y en competencia con Barcelona las ciudades con hinterland o área de influencia mayor, ya que se presentan como polos de atracción para todo el territorio nacional. Como podemos ver en el mapa, el fenómeno urbano está muy ligado a la actividad económica de un país o región. En un país moderno, el sector servicios suele representar cerca del 60% del PIB, y estas actividades terciarias se concentran principalmente en áreas urbanas, o bien en espacios vinculados al turismo. El mapa muestra muchos desequilibrios en el territorio español, heredados fundamentalmente de un proceso de industrialización que afecto de forma desigual a las diferentes provincias españolas. Así vemos que los sectores con mayor concentración urbana son principalmente Madrid, que aglutina muchos servicios especializados, además de contar con las administraciones y sedes del Gobierno, como un gran atractivo turístico, después vemos que hay ejes urbanos más o menos desarrollados en la toda la periferia, en el Atlántico, Cantábrico, Mediterráneo y Sur, suelen coincidir con una mayor actividad turística y a excepción del Cantábrico de una economía industrial más diversificada y dinámica que el interior del país que se dedica principalmente a actividades agrícolas y ganaderas que expulsan a la población joven y retraen el desarrollo urbano.

Comentario Plano Urbano de Bilbao. Geografía de España

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Una de las prácticas más comunes en Geografía Humana es el comentario de los planos urbanos. La ordenación del territorio ha sido una de las cuestiones claves principales desde los comienzos de las civilizaciones urbanas. El aprovechamiento de los recursos naturales y la ordenación de ciertas actividades económicas, culturales o religiosas han sido los fundamentos a partir de los cuales se han planteado los diversos planos de las ciudades a lo largo de la Historia.



plano urbano de bilbao


Nos encontramos ante un plano urbano de la ciudad de Bilbao. Para comentarlo de forma adecuada comenzaremos por la identificación de los diferentes especios en función del color con el que aparecen representados en color blanco se encuentran las vías urbanas y zonas sin edificar, las principales vías de comunicación aparecen delimitadas en color rosa. En color gris aparecen las zonas urbanizadas. En color marrón se señalan las zonas con cierto interés cultural, de servicios y monumentos, en verde se señalan las zonas ajardinadas y plazas.

En la mayoría de las ciudades se distingue un casco antiguo, un ensanche relacionado con el crecimiento industrial, y una periferia urbanizada más recientemente. En este caso el casco antiguo se localiza en la margen derecha de la ría, se caracteriza por una trama más densa que el resto de la ciudad y suponemos que en época medieval estaría amurallada, lo que explicaría su densidad. Aunque no se aprecia en el plano suponemos que se trata de edificios pequeños y de no muchas plantas, y hoy en día concentra el CBD (Central Bussiness Center), es decir, el centro de negocios que concentraría la mayoría de los servicios a empresas, bancos y otros productos financieros. Además constituye uno de los centros comerciales más importantes de la ciudad, las viviendas suelen ser caras y muchas han sido rehabilitadas o necesitan ser rehabilitadas.



A finales del siglo XIX o principios del siglo XX tendría lugar el ensanche ligado al crecimiento industrial. La industria, así como el ferrocarril se localizaron en torno a la ría, lo que suponía un ventaja con respecto al transporte. En la margen derecha se desarrollaría el ensanche, que se advierte por su trazado ortogonal y se articularía en torno al la Plaza Circular de García Lorca, de la que se abrirían vías paralelas, perpendiculares y diagonales, que facilitarían el tráfico para los nuevos vehículos a motor, los edificios son muchos más altos, tendrán un carácter residencial. Hacia el Sur, a partir de la Avenida de la Autonomía se establecerían los barrios obreros.

Aunque no es apreciable en este plano, suponemos que en el último cuarto del siglo XX se desarrolló una amplia periferia donde se desarrollarían barrios residenciales, para las clases medias y altas de la ciudad, como urbanizaciones de casas unifamiliares, además de polígonos industriales y grandes centros comerciales, que estarían ligados a las grandes vías de comunicación como la Nacional 1. Además podemos suponer que existe una zona rururbana donde se mezclan actividades propias del medio rural con actividades propias del medio urbano y que estarían situados en un radio más alejado.