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IDENTIFICACIÓN: Nos encontramos ante un grafo, una no es sino una simplificación gráfica de la estructura de una red de transporte, sin tener en cuenta ni trazados ni tamaño de las áreas que se representan. Se construye con líneas rectas (arcos) que representan vías de transporte (carreteras, ferrocarriles, etc.) que unen puntos o centros de salida, destino y también cruces de varías vías de transporte (nodos). A partir de la Teoría de Grafos, es posible estudiar las características básicas de una red de transporte como su conectividad, su accesibilidad, y la densidad de la red de transporte.

teoría de grafos
Grafo de una red de transporte


DESCRIPCIÓN: En la imagen observamos dos gráficos, el primero en el margen izquierdo representa un trazado topográfico de una red de transporte de un lugar determinado. En el gráfico del margen derecho observamos el mismo trazado simplicado geométrica a una red topológica o grafo. Si observamos el grafo veremos que cuenta con 8 arcos que unen 8 nodos.

ANÁLISIS: Un análisis del grafo nos permitirá conocer las características esenciales de esta red de transporte como su conectividad, accesibilidad y densidad.

Conectividad: Con conectividad se pretende conocer la capacidad que tienen de comunicarse los diferentes puntos de una red de transporte con un recorrido mínimo. No se tiene en cuenta la distancia real entre los vértices o nodos, sino la mayor o menor facilidad de conexión. Se considerará una conectividad óptima cuando la comunicación entre dos vértices o nodos se realiza a través de un sólo arco. Si para unir dos vértices o nodos sean necesarios atravesar dos o más arcos su conectividad será menor. El grado de conectividad se utiliza como indicador de desarrollo de los países al existir una relación directa entre el grado de conectividad de la red de transporte de un Estado y su renta per cápita.

Para estudiar la conectividad es necesario construir una matriz de doble entrada, con los nombres de los nodos, señalaremos con "1" si hay conexión directa, es decir, con un sólo arco con otro nodo, o "0" si no existe conexión directa. En este caso quedaría así:

tabla de conectividad grafo 1
Matriz de Conectividad Grafo 1

Así, en la fila de totales veremos reflejado que vértices o nodos estarían mejor conectados. En este caso serían los nodos: B, A y Ct. Pero si queremos saber el grado de conectividad de la red en general debemos recurrir a otros medios estadísticos, existen multitud de índices que expresan la conectividad, aquí utilizaremos los más comunes:

En primer lugar está el Índice Beta que trata de indicar en que grado están conectados los diferentes vértices o nódos de una red, se expresa de la siguiente forma:

                          e
Índice Beta = -------
                          V

Donde e es el número de arcos y V el número de vértices o nodos, por tanto quedaría así 8/8 = 1

Los valores del Índice Beta oscilan entre 0 y 3. Se considera que los valores inferiores a 1 pertenecen a grafos no conexos, 1 indica una red con un sólo circuito y los valores comprendidos entre 1 y 3 indican que se trata de una red más compleja, más cuanto se aproxime a tres.


El Número Ciclomático: determina la cantidad de circuitos que existen dentro de un grafo. Entendiendo por circuito, cada una de las múltiples maneras que existen para ir desde un nodo hasta el mismo, sin tener que pasar dos veces por el mismo arco. Se calcula restando el número total de arcos (a) al número de nodos necesario para formar un árbol (n-1), restándose además los grafos inconexos(g) su fórmula es la siguiente:

Número Ciclomático: a-(n-1)-g

En este caso no existen grafos inconexos, por lo que quedaría así:

Número Ciclomático = 8-(8-1)= 1

Lo que expresa que existe un circuito dentro del grafo.

Otro índice utilizado es el Índice Alfa, que trata de expresar la relación entre el número de circuitos existentes en el grafo, con el número máximo de circuitos posibles. Debemos entender por circuito un recorrido que es a la vez un camino cerrado, en este caso tenemos un circuito entre los nodos B, C y Ct.
                           a - (n -1)-g
Índice Alfa = ------------------ 
                             2n-5

Donde a son los arcos y n son los vértices o nodos.

Por tanto quedaría así: (8-8-1)/(2x8-5)=  0.09 si lo expresamos en porcentaje el valor es de 9%

Por tanto el grafo tiene un 9% de los circuitos de todos los posibles, lo que nos lleva a pensar en una conectividad también baja entre los distintos nódos o vértices. La utilización del Índice Alfa es muy común porque permite comparar distintos grafos.

Accesibilidad: Con accesibilidad entendemos la facilidad que existe para poder acceder a un vértice o nodo concreto de la red, desde cualquier otro nodo o vértice. Para estudiar la accesibilidad es necesario construir una matriz de doble entrada donde indicaremos el número de arcos necesario para llegar de un nodo a otro por el camino más corto.

La accesibilidad se puede medir con dos índices. Uno de ellos es el conocido como Número Asociado de Konning, que es expresa el valor más elevado de cada columna, cuanto más alto sea este valor menor accesibilidad tendrá y viceversa. Otro de los índices más utilizados es el Índice de Shimbel que se obtiene con la suma de los arcos de cada columna, cuanto más baja sea la suma mayor accesibilidad tendrá el vértice o nodo, todo lo contrario ocurrirá cuando la suma del número de arcos sea mayor.
matriz de aceesibilidad
Matriz de Accesibilidad Grafo 1


Así, atendiendo al Número Asociado de Konning, los nodos más accesibles serán C, A y Ct, si atendemos al Índice de Shimbel, los nodos más accesibles serán A y Ct.

A partir del índice Shimbel se puede obtener también el índice de centralidad, y que permite compararlo con grafos distintos, se expresa con la siguiente fórmula:

                                           Índice de Shimbel
Índice de Centralidad = -------------------------
                                                     (n-1)

Así obtenemos que los nodos centrales del grafo son los puntos A y Ct

Eficiencia: También es posible calcular el nivel de eficiencia de una red a través de una relación de la distancia real para acceder de un punto a otro, y la distancia idea (en línea recta), o lo que es lo mismo, calcular el índice de rodeo. Para ello es necesario construir dos matrices, una con distancias reales y otra con las distancias ideales, después obtendremos una suma de todas ellas que nos permitirá obtener el Índice de Rodeo a partir de la siguiente fórmula.

                                Distancia Ideal (Kms)
Índice de Rodeo=-----------------------------
                               Distancia Real (Kms)

Los valores obtenidos van de 0 a 1, cuanto más cercano a uno más eficiente será la red de transporte. En este caso, no podemos calcularlo por no tener los datos necesarios.

Densidad: Otro factor importante a considerar es la densidad de la red de transporte que se obtiene de la relación entre los kilométros lineales (L) de la red de transporte y los kilómetros cuadrados que ocupa el área (A) del territorio sobre la que se asienta. Este índice permite comparar también distintas redes de transporte.

                    L
Densidad=-----
                    A


COMENTARIO: Las sociedades han evolucionado históricamente de forma distinta dando lugar a diferentes configuraciones de las redes de transporte, podemos encontrar a lo largo de la geografía mundial redes irregulares y anárquicas, muchas veces debido a las irregularidades orográficas del terreno, hasta redes planificadas con trazados reticulares como en las llanuras de Estados Unidos o sistemas radiales como la red de carreteras en Irlanda. Hoy en día, en un mundo globalizado, es indudable la conexión entre las redes de transporte y desarrollo económico, por tanto su estudio es necesario para mejorar el desarrollo y la vertebración territorial y económica de un país. Para el estudio de redes de transporte se suele utilizar la Teoría de Grafos, una teoría matemática que arranca del problema planteado por Euler y continuado por Kirchohff denominado "los puentes de Königsberg". A través de la teoría de Grafos es posible estudiar la conectividad, accesibilidad, centralidad, eficiencia y densidad de una red de transporte. La aplicación práctica de estos conceptos en la ordenación del territorio dan lugar una mejora del desarrollo económico del mismo.

El estudio de la  conectividad de una red de transporte se facilita la proyección de nuevas redes de comunicación como carreteras, autovías o ferrocarriles que permitan una mejor vertebración del territorio, y con ello un aumento del PIB per cápita, índice con el que está relacionado.

El estudio de la accesibilidad arroja datos importantes para la planificación y ordenación del territorio, y permite construir servicios públicos o privados, como aeropuertos, estaciones, hospitales o centros comerciales en los lugares más accesibles de un territorio concreto.

Asimismo, la utilización de los diferentes índices aquí expuestos nos permiten conocer otros datos como la centralidad, la eficiencia o la densidad, que permiten una mejor planificación y una reducción de las distancias y tiempos del transporte, mejorando la productividad, la comunicación y en definitiva la vertebración más homogénea del territorio.

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